Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx的曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=1，g（x）=x²-x-2

x

+3b．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求證：e^x≥ex；
（3）求方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由f′（1）=0求得實(shí)數(shù)a的值，則f（x）的表達(dá)式可求；
（2）構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=e^x-ex，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在實(shí)數(shù)集內(nèi)的最小值，則不等式得到證明；
（3）化方程f（x）=g（x）為x+2

x

-2lnx-3b=0，構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，由導(dǎo)數(shù)求其最小值，然后對(duì)b分類得到方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)．

解答： （1）解：由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=2x-

a

x

，
∵曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y=1，
∴切線斜率為0．
∴f′（1）=2-a=0，
∴a=2．
∴f（x）=x²-2lnx；
（2）證明：設(shè)F（x）=e^x-ex，
則F′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1）時(shí)，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；
∴x=1時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（1）=0，
∴e^x≥ex；
（3）解：由（1）可知，方程f（x）=g（x），即x+2

x

-2lnx-3b=0．
設(shè)h(x)=x+2

x

-2lnx-3b，
則h′(x)=1+

1

x

-

2

x

．
令h′（x）＞0，并由x＞0，解得x＞1；
令h′（x）＜0，并由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值0	遞增

知h（x）在x=1處取最小值3-3b，
（ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，h（1）=0，在x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一個(gè)解，
即當(dāng)b=1方程f（x）=g（x）有唯一解；
（ⅱ）當(dāng)b＜1時(shí)，h（1）＞0，在x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上無實(shí)數(shù)解，
即當(dāng)b＜1方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)為零．
（ⅲ）當(dāng)b＞1時(shí)，h（1）＜0，
又h(e-3b)=e-3b+2

e-3b

+6b-3b＞0，
故函數(shù)h（x）在區(qū)間（e^-3b，1）上有一個(gè)零點(diǎn)；
由（2）知h（e^10b）=e10b+2

e10b

-2lne10b-3b≥10eb+2

e10b

-23b＞0，
故函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，e^10b）上有一個(gè)零點(diǎn)，
∴b＞1時(shí)，h（x）=0在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)為2．
綜上，方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)為：
b=1時(shí)1個(gè)，b＜1時(shí)0個(gè)，b＞1時(shí)2個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是高考試卷中的壓軸題．