Question

已知函數f（x）=

ln(1+x)

x

．
（Ⅰ）證明：若x≥1，則 f（x）≤ln2；
（Ⅱ）如果對于任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立，求p的最大值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數求出f（x）的單調區(qū)間，求出f（x）的最大值，即可證出；
（2）構造函數h（x）=ln（1+x）-x-px²，則只要h（x）＞0恒成立．即h（x）的最小值大于0，求出p的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數f(x)=

ln(1+x)

x

的導函數為f/(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
在[0，+∞）上考慮函數g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，由g/(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

≤0，
可知g（x）單調遞減，結合g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜0，所以，f′（x）＜0，f(x)=

ln(1+x)

x

在（0，+∞）單調遞減．
∵f（1）=ln2，∴若x≥1，則 f（x）≤ln2．
（Ⅱ） 要使得對任意x＞0，f（x）＞1+px即

ln(1+x)

x

＞1+px恒成立，首先由熟知的不等式ln（1+x）＜x知p＜0
令h（x）=ln（1+x）-x-px²，則只要h（x）＞0恒成立．
以下在[0，+∞）上考慮h（x）.h/(x)=

1

1+x

-1-2px=

-2px(x+ 2p+1 2p )

1+x

．
這里p＜0，故若2p+1＞0，則在區(qū)間(0，-

2p+1

2p

)內，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，但h（0）=0，所以在區(qū)間(0，-

2p+1

2p

)內，h（x）＜0，這與題意不符；
反之，若2p+1≤0，則當x＞0時恒有h′（x）＞0，h（x）單調遞增，但h（0）=0，所以對任意x＞0，h（x）＞0，也就是

ln(1+x)

x

＞1+px恒成立．
綜上所述，使得對任意x＞0，f（x）＞1+px恒成立的最大的p=-

1

2

．

點評：本題利用導數求函數的單調區(qū)間，進而求出最大值，來證明不等式，運用了等價轉化，化歸，構造函數思想，求參數的取值范圍，一道導數的綜合題．屬于中檔題．