Question

3．如圖，一個三棱錐，底面ABC為正三角形，側(cè)棱SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，M、N分別為棱SB和SC上的點，求△AMN的周長的最小值．

Answer 1

分析 將三棱錐S-ABC側(cè)面沿側(cè)棱SA剪開，將3個側(cè)面鋪平展開，成曲邊扇形S-ABCA'，由此能求出△AMN的周長的最小值．

解答 解：∵一個三棱錐，底面ABC為正三角形，側(cè)棱SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，
M、N分別為棱SB和SC上的點，
將三棱錐S-ABC側(cè)面沿側(cè)棱SA剪開，
將3個側(cè)面鋪平展開，成曲邊扇形S-ABCA'，
∵SA=SB=SC=1，∠ASB=30°，
∴∠ASA'=90°，
△AMN的邊展成了折線AMNA'，連接AA'，
∵平面內(nèi)兩點之間線段最短，
∴三角形AMN周長AM+MN+NA'≥AA'=$\sqrt{2}$，
∴三角形AMN的周長的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形的周長的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．