Question

6．如圖，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2$\sqrt{2}$，點E在A₁D上，且E為A₁D的中點
（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱錐D-ACE的體積V_D-ACE．

Answer 1

分析 （I）使用菱形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理證明AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，從而得出AA₁⊥平面ABCD；
（II）設(shè)AD的中點為F，連接EF，利用體積公式求三棱錐D-ACE的體積V_D-ACE．

解答 （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，
∵AA₁=2，∴AA₁²+AB²=A₁B²，∴AA₁⊥AB．
同理，AA₁⊥AD，又∵AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：設(shè)AD的中點為F，連接EF，則EF∥AA₁，∴EF⊥平面ACD，且EF=1．
∴V_D-ACE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．