Question

【題目】已知函數f（x）=ln（ax+1）+ ﹣x2﹣ax（a∈R）
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）當a≥ 時，設g（x）=ln[x2（ax+1）]+ ﹣3ax﹣f（x）（x＞0）的兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2）恰為φ（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零點，求y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意f′（x）= +x2﹣2x﹣a≥0在[4，+∞）上恒成立，

整理得ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2≥0在[4，+∞）上恒成立

設h（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2，顯然a＞0其對稱軸為x=1﹣ ＜1

∴h（x）在[4，+∞）單調遞增，∴只要h（4）=16a+4（1﹣2a）﹣a2﹣2≥0，

∴0＜a≤4+3

（2）解：g（x）=2lnx﹣2ax+x2，g′（x）= ．

由題意 ，∴ ≥ ，解得0＜ ≤ ，

φ′（x）= ﹣2cx﹣b，φ（x1）=lnx1﹣cx12﹣bx1，φ（x2）=lnx2﹣cx22﹣bx2，

兩式相減得ln ﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）= ﹣lnt（0＜t≤ ），

∴y′= ＜0．

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）在（0， ]遞減，ymin=ln2﹣ ．

∴y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值為ln2﹣

【解析】（1）由題意f′（x）= +x2﹣2x﹣a≥0在[4，+∞）上恒成立，整理得ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2≥0在[4，+∞）上恒成立，設h（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣a2﹣2，只要h（4）=16a+4（1﹣2a）﹣a2﹣2≥0，即可求實數a的取值范圍；（2）先確定0＜ ≤ ，再利用y=（x1﹣x2）φ′（ ）= ﹣lnt（0＜t≤ ），即可求y=（x1﹣x2）φ′（ ）的最小值．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．