Question

2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）在過點(diǎn)（-$\frac{3}{2}$，-2）的圓x²+y²-2x+4y=0的兩條切線和x-y+1=0圍成的區(qū)域內(nèi)，則$\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$]
• B． [-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$]
• C． [-1，0）∪（0，$\frac{1}{7}$）
• D． [-1，$\frac{1}{7}$]

Answer 1

分析 由題意設(shè)出圓的切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑求得k，得到直線方程，作出可行域，再根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)求解．

解答 解：由圓x²+y²-2x+4y=0，得（x-1）²+（y+2）²=5，
圓心坐標(biāo)為（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$，過點(diǎn)（-$\frac{3}{2}$，-2）的直線方程設(shè)為y=k（x+$\frac{3}{2}$）-2，
∵直線與圓相切，∴$\frac{|k+2+\frac{3}{2}k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{5}$，解得：k=±2．
∴兩條切線方程分別為2x-y+1=0，2x+y+5=0．
畫出可行域如圖，

令z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$．
當(dāng)x=-1時(shí)，z=0；當(dāng)x≠-1時(shí)，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+\frac{2（y-2）}{x+1}}$，
令t=1+$\frac{2（y-2）}{x+1}$，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與D（-1，2）的連線的斜率的2倍加1，
由圖可知，k_DC=3，k_DB=-1，
∴t∈（-∞，-1]∪[7，+∞），
∴z∈[-1，$\frac{1}{7}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．