Question

（本小題滿分13分）設函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若在區(qū)間上存在x，使得成立，求實數(shù)k的取值范圍；（Ⅲ）求函數(shù)的值域.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

：（Ⅰ）因為，所以     -------------2分

（Ⅱ）因為，所以,  -----------3分

      則.     求導得，當時，顯然有,

         所以在區(qū)間上遞增,  --------5分  即可得在區(qū)間上的值域為,  在區(qū)間上存在x，使得成立，所以. -------7分

（Ⅲ）由于的表達式關于x與對稱，且x>0，不妨設x??1.

     當x=1時，=1，則; ----8分     當x>1時，設x= n+，n??N^*，0??<1.

     則[x]= n，，所以.   ---------9分

     ，在[1，+??)上是增函數(shù)，又，

     ,

     當時，     

當時，   ……… 11分

     故時，的值域為I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

     設,

     則.     ,

     \當n??2時，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

     又b_n單調遞減，\ b₂> b₃>…> b_n>…  \[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…------12分

     ,

     \ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂ =.

     綜上所述，的值域為.-----13分