Question

5．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=$\sqrt{3}$，點D為AC的中點，點E在線段AA₁上．
（Ⅰ）當E為AA₁中點時，求證：ED∥平面A₁B₁C₁
（Ⅱ）當$\frac{AE}{E{A}_{1}}$為何值時，點A到平面BDE的距離為$\frac{1}{2}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ED∥A₁C，由此能證明ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）過A作AF⊥DE于F，由已知得AA₁⊥BD，BD⊥AC，從而點A到平面BDE的距離為AF=$\frac{1}{2}$，由面積公式，由此能求出AE，即可得出結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵在△AA₁C中，E為AA₁中點，D為AC的中點，
∴ED∥A₁C，且ED?平面A₁B₁C，A₁C?平面A₁B₁C，
∴ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）解：如圖，過A作AF⊥DE于F，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴AA₁⊥BD，
在正△ABC中，D是AC的中點，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AC 1，AF?平面AC₁，
∴BD⊥AF，又AF⊥DE，
∴AF⊥平面BDE，故點A到平面BDE的距離為AF，即AF=$\frac{1}{2}$．
設AE=a，在Rt△ADE中，AD=1，得DE=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
由面積公式，得AE•AD=DE•AF，即a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
當點A到平面BDE的距離為$\frac{1}{2}$時，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AA₁=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AE}{E{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．