Question

1．雙曲線x²-y²=8的在左、右焦點分別是F₁、F₂，點P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）在其右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，則x₂₀₁₆的值是8064．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可求得P₁點的橫坐標(biāo)x₁（就是右焦點F₂的橫坐標(biāo)），利用兩點間的距離公式由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|可求得x_n+1-x_n=4，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求得x₂₀₁₆的值．

解答 解：∵a²=8，b²=8，
∴c=4，即x₁=4，又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
∴（x_n+1-4）²+y_n+1²=（x_n+4）²+y_n²，
即x_n+1²-8x_n+1+16+y_n+1²=x_n²+8x_n+16+y_n²，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n-4）=0，
由題意知，x_n＞0，
∴x_n+1-x_n=4，
∴{x_n}是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，
∴x₂₀₁₆=x₁+2015×4=4+8060=8064．
故答案為：8064．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，突出考查等差數(shù)列的通項公式，通過分析運算得到x_n+1-x_n=4是關(guān)鍵，