Question

四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一個動點(diǎn)，且滿足|MB|=|MS|，求點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡；
（II）試問在線段SD上是否存在點(diǎn)E，使二面角C-AE-D的大小為60°？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）以D為原點(diǎn)，

DA

、

DC

、

DS

的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
設(shè)M（x，y，0），則由|MB|=|MS|得

(x-a)2+(y-a)2

=

x2+y2+a2

…（4分）
化簡得x+y-

a

2

=0，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為△ACD平行于邊AC的中位線．…（6分）
（2）假設(shè)存在，設(shè)

DE

=λ

DS

(0≤λ≤1)，

DC

=（0，a，0）為平面ADE的一個法向量…（8分）
設(shè)平面ACE的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

EA

=0，

n

•

EC

=0
即

x-λz=0 y-λz=0

，取z=1，得

n

=（λ，λ，1），…（10分）
所以cos600=

| DC • n |

| DC |•| n |

=

|λ|

2λ2+1

，又0≤λ≤1，解得λ=

2

2

，
故在線段SD上存在點(diǎn)E，

DE

=

2

2

DS

，使二面角C-AE-D的大小為60⁰．…（13分）