Question

已知點(diǎn)M是圓C：上的一點(diǎn)，且軸，為垂足，點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線E．

（Ⅰ）求曲線E的方程；

（Ⅱ）若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)N（x,y）,M（），則由已知得，，，                     2分

代入得，．                                                        4分

所以曲線E的方程為.                                                           5分

(Ⅱ)方法一：

因?yàn)榫�段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，

則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.                                                          7分

設(shè)，，又,

所以，，                                                9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813365333131992/SYS201305181337263626891756_DA.files/image020.png">,

所以，即，

所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813365333131992/SYS201305181337263626891756_DA.files/image025.png">，所以．　　                                                      12分

又點(diǎn)到直線的距離，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813365333131992/SYS201305181337263626891756_DA.files/image029.png">，

所以　                                            14分

所以，即的最大值為．                                                   15分

(Ⅱ)方法二：

因?yàn)榫�段的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，

則弦不能與垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

.

設(shè)，，，，又，

所以，.                                                9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813365333131992/SYS201305181337263626891756_DA.files/image042.png">，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813365333131992/SYS201305181337263626891756_DA.files/image044.png">，

所以，

所以，                                                                  12分

又點(diǎn)到直線的距離，所以.

所以.     

設(shè)，則，                                              14分

所以，即的最大值為．                                                 15分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式以及二次函數(shù)求最值等問題.

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題每年高考都會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置上，難度一般較大，關(guān)鍵是運(yùn)算量大，所以在解決此類問題時(shí)，要注意設(shè)而不求、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用.