Question

已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線(xiàn)C上.（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線(xiàn)l的方程

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）方程分別為y=和

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線(xiàn)方程為（0＜a²＜4)，

將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求雙曲線(xiàn)方程為

(Ⅱ)依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，代入雙曲線(xiàn)C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

∴  ∴k∈(－)∪(1,).

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，滿(mǎn)足②.

故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條，其方程分別為y=和

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)系,注意計(jì)算的靈活處理，考查了學(xué)生綜合運(yùn)

算能力．