Question

3．底面是正三角形且側棱和底面垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為3，底面邊長為1，沿側面從A點經過棱BB₁上的M點再經過棱CC₁上的N點到A₁點．當所經路徑AM-MN-NA₁最短時，AM與A₁N所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 過A作AP∥A₁N交C₁C于P，則AM與AP所夾銳角（或直角），就是所求的角，沿側棱AA₁把三棱柱ABC-A₁B₁C₁剪開展開，當路徑AM-MN-NA₁最短時，最短路徑是AA₁，由此能求出結果．

解答 解：如圖5（甲），過A作AP∥A₁N交C₁C于P，
則AM與AP所夾銳角（或直角），就是所求的角，
沿側棱AA₁把三棱柱ABC-A₁B₁C₁剪開展開，
如圖5（乙），當路徑AM-MN-NA₁最短時，
M、N在線段AA₁上，最短路徑是AA₁，
由此可知，BM=1，CN=2，
故AM=AP=$\sqrt{2}$，MP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴（$\sqrt{5}$）²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²-$2\sqrt{2}•\sqrt{2}•cos∠MAP•cos∠MAP$=-$\frac{1}{4}$，
故AM與A₁N所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．