Question

【題目】如圖，已知、，、分別為的外心，重心，.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）是否存在過(guò)的直線交曲線于，兩點(diǎn)且滿足，若存在求出的方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)公式得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得出點(diǎn)，由可得出點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）由題意得出直線的斜率存在，并設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由，可得出代入韋達(dá)定理求出的值，即可得出直線的方程，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)或，從而說(shuō)明直線不存在.

（1）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由于，則點(diǎn).

由，可得出，化簡(jiǎn)得.

因此，軌跡的方程為；

（2）當(dāng)與軸重合時(shí)不符合條件.

假設(shè)存在直線，設(shè)點(diǎn)、.

將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，

消去得，由韋達(dá)定理得，.

，，，，得，

即，，

另一方面，得，解得.

則直線過(guò)點(diǎn)或，因此，直線不存在.