Question

11．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的離心率為$\frac{m}{2}$，拋物線y²=mx的焦點為F，點p（2，y₀）（y₀＞0）在此拋物線上，M為線段PF的中點，則點M到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 依題意，可求得雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的離心率e=2，于是知m=4，從而可求拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，繼而可得點M的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，從而得到答案

解答 解：∵雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的離心率e=$\sqrt{{1}^{2}+3}$=2=$\frac{m}{2}$，
∴m=4，
∴拋物線y²=mx=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1；
又點P（2，y₀）在此拋物線上，M為線段PF的中點，
∴點M的橫坐標(biāo)為：$\frac{1+2}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴點M到該拋物線的準(zhǔn)線的距離d=$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，
故答案為：$\frac{5}{2}$

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．