Question

已知直線l過點A（-2，-1），直線l的一個方向向量為（1，1），拋物線T的方程為y=ax²
（1）求直線l的方程
（2）若直線l與拋物線T交于點B、C兩點，且|BC|是|AB|和|AC|的等比中項，求拋物線T的方程
（3）設(shè)拋物線T的焦點為F，問：是否存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|？若存在，試求出所有這樣的正整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由正弦的方向向量可得直線的斜率為1，再由點斜式方程，即可得到直線方程；
（2）運用等比數(shù)列的性質(zhì)和直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程，由參數(shù)的幾何意義，可得|AB||AC|，再由直線方程代入拋物線方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，解a的方程即可得到；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．求出AF的中垂線方程，代入拋物線方程，求出判別式，運用換元法和構(gòu)造函數(shù)的方法，即可判斷判別式小于0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）直線l的一個方向向量為（1，1），即直線l的斜率為1，
則直線l的方程為y+1=x+2，即y=x+1；
（2）|BC|是|AB|和|AC|的等比中項，即|BC|²=|AB||AC|，
設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入拋物線方程y=ax²，化簡可得

1

2

at²-（2

2

a+

2

2

）t+4a+1=0，
則（2

2

a+

2

2

）²-4×

1

2

a•（4a+1）＞0，即a＞-

1

4

，
t₁t₂=

2(4a+1)

a

，
由

y=x+1 y=ax2

可得ax²-x-1=0，則判別式1+4a＞0，
x₁+x₂=

1

a

，x₁x₂=-

1

a

，
則弦長|BC|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

1 a2 + 4 a

，
由|BC|²=|AB||AC|，可得2（

1

a2

+

4

a

）=|

2(4a+1)

a

|，
解得a=1或-1（舍去），
即有拋物線方程為y=x²；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．
由y=ax²可得焦點F（0，

1

4a

），
AF的斜率為

1+4a

8a

，則AF的中垂線的斜率為-

8a

1+4a

，
AF的中垂線方程為y-（

1

8a

-

1

2

）=-

8a

1+4a

（x+1），
代入拋物線方程可得，ax²+

8a

1+4a

x-

1+4a

8a

+

8a

1+4a

=0，①
則△=（

8a

1+4a

）²-4a（-

1+4a

8a

+

8a

1+4a

），
令

8a

1+4a

=t，由a為正整數(shù)，則a=

t

8-4t

（

8

5

≤t＜2），
代入判別式化簡得，△=

t2-t3+1

2-t

，
令f（t）=t²-t³+1，則f′（t）=2t-3t²，當(dāng)t∈[

8

5

，2）時，f′（t）＜0，
f（t）在[

8

5

，2）上遞減，則f（t）≤f（

8

5

）＜0，
即有△＜0，方程①無實數(shù)解．
則不存在正整數(shù)a，使得拋物線T上至少有一點P．滿足|PF|=|PA|．

點評：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，重點考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達(dá)定理和弦長公式，同時考查二次方程的判別式與方程的解的關(guān)系，是一道綜合題，屬于中檔題．