Question

（本小題滿分12分）

已知函數，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”。記集合

（1）已知，若是在上單調遞增函數，是否有？若是，請證明。

（2）記表示集合中元素的個數，問：

若函數，若,則是否等于0？若是，請證明

若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

 

Answer 1

【答案】

(1) (2),是不一定等于1。

【解析】

試題分析：（1）證明：先證 任取，則

再證 任取

若，不妨設

由單調遞增可知： 與 矛盾

同理也矛盾，所以

綜上：

（2）①若 由于無實根 則對任意實數x，

從而 故無實根

同理若對任意實數x， ，從而 

故也無實根

②不妨設是B中唯一元素 則

令 那么 而

故 說明t也是的不動點

由于 只有唯一的不動點  故 即

這說明t也是的不動點，從而存在性得證

以下證明唯一性：若還有另外一個不動點m，即

則 這說明還有另外一個穩(wěn)定點m

與題設矛盾。

考點：本試題考查了函數的新定義的運用。

點評：結合新定義，和已學的函數單調性的性質，來分析函數的最值， 同時對于不動點的問題，要加以轉化為方程根的問題來處理，屬于中檔題。