Question

17．已知命題P：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根，且不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|對(duì)任意m∈R恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命題p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)命題p，q；由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p與q有且僅有一個(gè)為真．從而得出a的取值范圍．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-1，
|x₁-x₂|=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴當(dāng)m∈R時(shí)，|x₁-x₂|_min=2．
由不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|對(duì)任意m∈R恒成立，
得：a²+4a-5≤0，
∴-5≤a≤1；
∴命題p為真命題時(shí)-5≤a≤1．
命題p為假命題時(shí)a＞1或a＜-5；
命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有解，
②當(dāng)a=0時(shí)，2x-1＞0有解，
③當(dāng)a＜0時(shí)，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
從而命題p：不等式ax²+2x-1＞0有解時(shí)a＞-1
∴命題q是真命題時(shí)a＞-1，命題q是假命題時(shí)a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p與q有且僅有一個(gè)為真．
（1）當(dāng)命題p是真命題且命題q是假命題時(shí)-5≤a≤-1；
（2）當(dāng)命題p是假命題且命題q是真命題時(shí)a＞1；
綜上所述：a的取值范圍為：-5≤a≤-1或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假性的判斷、方程的解的判斷、韋達(dá)定理及分類討論的思想，屬于中檔題．