Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}通項(xiàng)為${a_n}=ncos（{\frac{nπ}{2}+\frac{π}{6}}）$（n∈N^*），S_n為其前n項(xiàng)的和，則S₂₀₁₅=504+502$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 當(dāng)n=4k時(shí)，a_n=n$cos（2kπ+\frac{π}{6}）$=n$cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$n；同理可得：當(dāng)n=4k-1時(shí)，a_n=$\frac{1}{2}$n；當(dāng)n=4k-2時(shí)，a_n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n；當(dāng)n=4k-3時(shí)，a_n=-$\frac{1}{2}$n．利用周期性即可得出．

解答 解：當(dāng)n=4k時(shí)，a_n=n$cos（2kπ+\frac{π}{6}）$=n$cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$n；
同理可得：當(dāng)n=4k-1時(shí)，a_n=$\frac{1}{2}$n；當(dāng)n=4k-2時(shí)，a_n=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n；當(dāng)n=4k-3時(shí)，a_n=-$\frac{1}{2}$n．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=1+$\sqrt{3}$．
∴S₂₀₁₅=S_503×4+3=503×$（1+\sqrt{3}）$+$（-\frac{1}{2}-\sqrt{3}+\frac{3}{2}）$
=504+502$\sqrt{3}$．
故答案為：504+502$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性、遞推公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．