Question

【題目】函數(shù)的最小值為.

（1）求；

（2）若，求及此時(shí)的最大值.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式后，分三種情況：①小于﹣1時(shí)②大于﹣1而小于1時(shí)③大于1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一問的g（a）的第二和第三個(gè)解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．

試題解析：

（1）由

.這里

①若則當(dāng)時(shí)，

②若當(dāng)時(shí)，

③若則當(dāng)時(shí)，

因此

（2）

①若，則有得，矛盾；

②若，則有即或（舍）.

時(shí)， 此時(shí)

當(dāng)時(shí)， 取得最大值為5.

點(diǎn)睛：二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取到；常見題型有：（1）軸固定區(qū)間也固定；（2）軸動(dòng)（軸含參數(shù)），區(qū)間固定；（3）軸固定，區(qū)間動(dòng)（區(qū)間含參數(shù)）. 找最值的關(guān)鍵是：（1）圖象的開口方向；（2）對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；（3）結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.

【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】已知兩個(gè)不共線的向量的夾角為，且為正實(shí)數(shù).

（1）若與垂直，求；

（2）若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的的值，并指出此時(shí)向量與的位置關(guān)系.

（3）若為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：（1）利用+2與﹣4垂直，（ +2）（﹣4）=0，可得，化簡，即可求出tanθ；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求|x﹣|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，利用數(shù)量積公式，可確定向量與x﹣的位置關(guān)系；

（3）方程|x﹣|=|m|，等價(jià)于9x2﹣3cosθx+1﹣9m2=0，利用關(guān)于x的方程|x﹣|=|m|有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，建立不等式，即可確定結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意，得即

故又，故

因此，

（2）

故當(dāng)時(shí)， 取得最小值為此時(shí)，

故向量與垂直.

（3）對(duì)方程兩邊平方，得①

設(shè)方程①的兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)解為，則由題意，得

，

解之，得

若則方程①可以化為，

則即由題知故

令，得，故，且.

當(dāng)，且時(shí)， 的取值范圍為，且}；

當(dāng)，或時(shí)， 的取值范圍為.