Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）當(dāng)，證明；

（2）如果函數(shù)有兩個極值點，（），且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

（3）當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2），（3）時有一個零點，當(dāng)且時，有兩個零點.

【解析】

（1）只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)易得證；
（2）求導(dǎo)后可知的兩根分別為，，進(jìn)而可得，表示出，構(gòu)造函數(shù)求其在定義域上的最大值即可；
（3）研究可知，再分類討論結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可得出結(jié)論．

（1）時，等價于證明：

即證，令

，當(dāng)時，，單調(diào)遞減

當(dāng)時，，單調(diào)遞增

∴，∴，證畢!

（2）的兩根分別為，

∴，解得

∴

顯然在上單調(diào)遞減.

∴

∴

（3）當(dāng)時，，令

∴其只有一個正數(shù)根，（）

且當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減

∴最大值

令，

（）

令當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增

∴

∴

①當(dāng)，即時，，此時只有一個零點

②當(dāng)，即且時，此時，注意到

（i）當(dāng)時，，而

令取知

∴在上有一個零點，另一個零點為1

（ii）當(dāng)，即時，此時取知

∴有一個零點為1，另一零點在上，

故時有一個零點，當(dāng)且時，有兩個零點.