Question

已知a，b是非零向量，當(dāng)a＋tb(t∈R)的模取最小值時(shí)，

(1)求t的值；

(2)已知a與b共線同向，求證：b⊥(a＋tb)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：令m＝|a＋tb|，θ為a，b的夾角，則 　　m2＝|a|2＋2a·tb＋t2|b|2 　�。絫2|b|2＋2t|a||b|cosθ＋|a|2 　�。絴b|2(t＋cosθ)2＋|a|2sin2θ． 　　∴當(dāng)t＝－cosθ時(shí)，|a＋tb|有最小值|a|sinθ． 　　(2)證明：∵a與b共線且方向相同，故cosθ＝1． 　　∴t＝－．∴b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|－|a||b|＝0．∴b⊥(a＋tb)．

提示：

利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，將a＋tb的模表示為t的二次函數(shù)，借助于二次函數(shù)有最小值時(shí)，求t的值．要證(a＋tb)⊥b，只需證b·(a＋tb)＝0．利用a與b共線且同向的條件，確定t的值．