Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求證:；

（2）若在上恒成立，求的最大值與的最小值.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最大值為,的最小值為1.

【解析】

（1）構(gòu)建函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在單調(diào)性并計(jì)算最值，可得結(jié)果.

（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)分類討論的方法，，和，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最值比較，可得結(jié)果.

（1）由

所以.

又，,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而,.

（2）當(dāng)時(shí),

“”等價(jià)于“”

“”等價(jià)于“”.

令,則,

當(dāng)時(shí),

對(duì)任意恒成立.

當(dāng)時(shí),

因?yàn)閷?duì)任意,,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.

從而對(duì)任意恒成立.

當(dāng)時(shí),

存在唯一的，使得.

與在區(qū)間上的情況如下:

		0
	↗		↘

因?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù),

所以.

進(jìn)一步,“對(duì)任意恒成立”

當(dāng)且僅當(dāng),即,

綜上所述：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立;

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立.

所以，若對(duì)任意恒成立,

則最大值為,的最小值為1.