Question

14．將棱長為2的正四面體木塊切削成一個體積最大的球，則該球的體積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}π}{27}$
• B． $\sqrt{6}$π
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• D． $\frac{4}{3}$π

Answer 1

分析 由題意，所求球為正四面體ABCD的內切球，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，說明OE是內切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．

解答 解：由題意，所求球為正四面體ABCD的內切球，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，
正四面體的棱長為2，
所以OE為內切球的半徑，設OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{4}{3}$
解得，R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
則其內切球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
內切球的體積為$\frac{4}{3}π$×（$\frac{\sqrt{6}}{6}$）³=$\frac{\sqrt{6}}{27}π$．
故選：A．

點評 本題考查正四面體的內切球半徑的求法，內切球的半徑是正四面體的高的$\frac{1}{4}$，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．