Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E為線段BD上的點，且EA＝EB＝ED＝AB，延長CE交AD于點F．

（1）若G為PD的中點，求證平面PAD⊥平面CGF；

（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）推導(dǎo)出∠BCD＝，EF⊥AD，AF＝DF，GF⊥平面ABCD，GF⊥AD，從而AD⊥平面CFG，由此能證明平面PAD⊥平面CGF．

（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，∴∠BCD，

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，

∴∠FED＝∠FEA＝∠AEB，EC＝EA，

∴∠FED＝∠FEA，ED＝EA，∴EF⊥AD，AF＝DF，

∵PG＝DG，∴FG∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，

∵GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CFG，

∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF．

（2）解：由（1）知∠BCD，

∵△DAB≌△DCB，∴AB⊥AD，

∵AD＝AP＝6，，∴AB＝2，

以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

P（0，0，6），B（0，2，0），C（3，3，0），D（6，0，0），

（0，2，﹣6），（3，3，﹣6），（6，0，﹣6），

設(shè)平面BCP的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，，﹣1），

設(shè)平面DCP的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，，1），

設(shè)平面BCP與平面DCP所成銳二面角的平面角為θ，

則cosθ．

∴平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值為．