Question

已知命題P：方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；命題q：關于實數t的不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0
（1）若命題P為真，求實數t的取值范圍；
（2）若命題P是命題q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據方程表示橢圓的條件列出4-t＞t-1＞0，求出t的范圍即可．
（2）利用命題P是命題q的充分不必要條件，推出1＜t＜

5

2

是不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0解集的真子集，直接求解即可．

解答：解：（1）∵方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，
∴4-t＞t-1＞0（4分）
解得：1＜t＜

5

2

（7分）

（2）∵命題P是命題q的充分不必要條件
∴1＜t＜

5

2

是不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0解集的真子集（10分）
因方程t²-（a+3）t+（a+2）=0兩根為1，a+2故只需a+2＞

5

2

（12分）
解得：a＞

1

2

（14分）

點評：本題是中檔題，考查橢圓的基本性質，命題的充分性與必要性的關系，考查計算能力，邏輯推理能力，注意子集的應用．