Question

(汕頭聯(lián)考模擬)如下圖，三棱柱中，⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，=3，D為AC的中點(diǎn)．

(1)求證：∥面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面?并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)證明：連接，與相交于O，連接OD． ∵是矩形，∴O是的中點(diǎn)．又D是AC的中點(diǎn)，∴．(2分) ∵，， ∴．　　　　　　　　　　　　　(4分) (2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 (0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)，A(2，3，0)，D(1，3，0)．(5分) 設(shè)是面的一個(gè)法向量，則 取．　　　(6分) 易知是面ABC的一個(gè)法向量． ∴．　　　　　　(8分) ∴二面角的余弦值為．　　　　(9分) (3)假設(shè)側(cè)棱上存在一點(diǎn)P(2，y，0)(0≤y≤3)，使得CP⊥面． 則則∴ ∴方程組無解． ∴假設(shè)不成立．　　　　　　　　　　　(11分) ∴側(cè)棱上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面．　　(12分)