Question

【題目】對于函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得對任意的，都有成立，我們稱函數(shù)為“同比不減函數(shù)”．

（1）求證：對任意正常數(shù)，都不是“同比不減函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）是否存在正常數(shù)，使得函數(shù)為“同比不減函數(shù)”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）存在，

【解析】

（1）取特殊值使得不成立，即可證明；

（2）根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的最值關(guān)系，即可求出結(jié)果；

（3）去絕對值化簡函數(shù)解析式，根據(jù)“同比不減函數(shù)”的定義，取，因?yàn)?/span>成立，求出的范圍，然后證明對任意的，恒成立，即可求出結(jié)論.

證明：（1）任取正常數(shù)，存在，所以，

因?yàn)?/span>，

即不恒成立，

所以不是“同比不減函數(shù)”.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“同比不減函數(shù)”，

所以恒成立，即恒成立，

對一切成立.

所以.

（3）設(shè)函數(shù)是“同比不減函數(shù)”，

，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>成立，

所以，所以，

而另一方面，若，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以，所以有成立.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以，

即成立.

綜上，恒有有成立，

所以的取值范圍是.