Question

已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時，是奇函數(shù)；當(dāng)時，是偶函數(shù)；當(dāng)時，是非奇非偶函數(shù)，（2）.

試題分析：（1）研究函數(shù)奇偶性，首先研究定義域，，在定義域前提下，研究相等或相反關(guān)系. 若，則，，，若，，，,（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義研究函數(shù)單調(diào)性. 因函數(shù)在上為減函數(shù)，故對任意的，都有，即恒成立，恒成立，因為，所以.
解：（1）   （1分）
若為偶函數(shù)，則對任意的，都有，
即，，對任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即 ∴當(dāng)時，是偶函數(shù)。   （4分）
若為奇函數(shù)，則對任意的，都有，
即，對任意的都成立。由于不恒等于0，故有，即∴當(dāng)時，是奇函數(shù)。（6分）
∴當(dāng)時，是奇函數(shù)；當(dāng)時，是偶函數(shù)；當(dāng)時，是非奇非偶函數(shù)。   （7分）
（2）因函數(shù)在上為減函數(shù)，故對任意的，都有，   （2分）
即恒成立。（4分）
由，知恒成立，即恒成立。
由于當(dāng)時   （6分）
∴   （7分）