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如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，⊥AC，M是的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線 上，且滿足.

（1）當(dāng)取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角最大？

（2）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點(diǎn)P的位置.

 

【答案】

（1）（2）

【解析】本試題主要考查了立體幾何中線面角以及二面角的求解和運(yùn)用。

解：（1）以AB,AC,分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面ABC的一個(gè)法向量為…………2分

則 …………………5分

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而當(dāng)最大時(shí)，最大，所以當(dāng)時(shí)，.…………………7分

（2）已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為，即可得到平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為，.

由得 ，…………………9分

解得.…………………10分

令于是由

，……………13分

解得的延長(zhǎng)線上，且.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（本小題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；

（1）證明：無(wú)論取何值，總有；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；

（3）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；

（Ⅰ）證明：無(wú)論取何值，總有；

（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆湖北省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足.

（1）證明：.

（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.

（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點(diǎn)的位置.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，⊥AC，

M是的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，且滿足.

（Ⅰ）當(dāng)取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角最大？并求sin的值；

（Ⅱ）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為，試確定點(diǎn)P的位置.

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