Question

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且.

（Ⅰ）求的極大值和極小值；

（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對(duì)任意的總有成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極大值為，極小值為；（Ⅱ） ；（Ⅲ）直線斜率的最小值為4，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，先求m值，設(shè)原函數(shù)解析式，由，得原函數(shù)解析式，再求導(dǎo)函數(shù)，列表求極值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，對(duì)分情況討論，分和兩種情況，分別找出這兩種情況下函數(shù)的最大值，使得成立，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求直線OM斜率表達(dá)式，得斜率最小值為4，據(jù)此判斷，，再利用導(dǎo)數(shù)的證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)大于0 恒成立．

試題解析：解：（I）依題意，，解得，　　             1分

由已知可設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092423580723153006/SYS201309242358569734894083_DA.files/image006.png">，所以，

則，導(dǎo)函數(shù)．　　          3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	↗	極大值4	↘	極小值0	↗

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為．　　　　              5分

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，由（I）知在上遞增，

所以的最大值，　　               6分

由對(duì)任意的恒成立，得，則，

∵，∴，則，∴的取值范圍是．  8分

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092423580723153006/SYS201309242358569734894083_DA.files/image039.png">，所以的最大值，

由對(duì)任意的恒成立，得， ∴，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092423580723153006/SYS201309242358569734894083_DA.files/image009.png">，所以，因此的取值范圍是，

綜上①②可知，的取值范圍是．　　　　　　　　               10分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，直線斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092423580723153006/SYS201309242358569734894083_DA.files/image046.png">，所以，則，

即直線斜率的最小值為4．　　　　　　　            　11分

首先，由，得.

其次，當(dāng)時(shí)，有，所以，　          13分

證明如下：記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以 ．      14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及單調(diào)性；3、導(dǎo)數(shù)與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用．