Question

2．已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的正方形，PD=4，E，F(xiàn)是PB上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2．
（1）求證：AC⊥平面PDB；
（2）求三棱錐F-AEC的體積；
（3）若點(diǎn)G在PA上運(yùn)動(dòng)，且滿足$\frac{PG}{PA}$=$\frac{PF}{PB}$=x，試將三棱錐A-DGF的體積V表示為x的函數(shù)，并求體積V的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合線面垂直的判斷得答案；
（2）把三棱錐F-AEC的體積轉(zhuǎn)化為以O(shè)EF為底面，分別以O(shè)A、OC為高的兩個(gè)三棱錐的體積求解；
（3）由平行線截線段成比例定理，把三棱錐A-DGF（F-ADG）的底面ADG的高及棱錐的高GF用含x的代數(shù)式表示，代入三棱錐體積公式，化為關(guān)于x的函數(shù)，由二次函數(shù)求得最大值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB；
（2）解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的正方形，∴BD=4，
又PD=4，∴D到PB的距離為$2\sqrt{2}$，
設(shè)AC∩BD=O，則O到PB的距離為$\sqrt{2}$．
連接OE，OF，∴${S}_{△OEF}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
∴${V}_{F-AEC}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4=\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（3）解：∵$\frac{PG}{PA}$=$\frac{PF}{PB}$=x，∴$\frac{GF}{AB}=\frac{GF}{2\sqrt{2}}=x$，
∴$GF=2\sqrt{2}x$．
設(shè)G到AD的距離為h，由平行線截線段成比例定理可得：$\frac{4-h}{4}=x$，
∴h=4-4x，
∴${S}_{△ADG}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（4-4x）=4\sqrt{2}（1-x）$，
∴三棱錐A-DGF的體積V=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADG}•FG$=$\frac{1}{3}•4\sqrt{2}（1-x）•2\sqrt{2}x$=$\frac{16}{3}（-{x}^{2}+x）$．
∵PB=$4\sqrt{2}$，EF=2，∴0$＜x＜\frac{4\sqrt{2}-2}{4\sqrt{2}}$=$1-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
則$V=\frac{16}{3}（-{x}^{2}+x）$，0$＜x＜1-\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，V取得最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．