Question

【題目】如圖，已知拋物線：，四邊形和都為正方形，原點為的中點，點在拋物線上.

（1）求點和點的坐標(biāo)；

（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1），點的坐標(biāo)為（2）直線的方程為或

【解析】

（1）分別假設(shè)正方形和邊長為，利用表示出坐標(biāo)，代入拋物線方程可構(gòu)造方程求得，進而得到所求坐標(biāo)；

（2）設(shè)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式；根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算，代入韋達定理的結(jié)論可構(gòu)造方程求得，從而得到所求直線方程.

（1）設(shè)正方形的邊長為，則

代入得：，解得：或（舍） 點的坐標(biāo)為

設(shè)正方形的邊長為，則

代入方程得：，解得或（舍）

點的坐標(biāo)為

（2）由（1）知，

設(shè)直線的方程為，點的坐標(biāo)分別為，

聯(lián)立方程，消去整理為：

則 ，

又，，

由得：，解得：

故直線的方程為

即直線的方程為：或