Question

19．在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ABC=90°，M是PB的中點，PA=AB=2．
（Ⅰ）求證：面PBC⊥面PAB；
（Ⅱ）若BC=1，求三棱錐A-PMC的體積．

Answer 1

分析 （1）由∠PAB=∠PAC=90°可知PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又由于BC⊥AB得出BC⊥平面PAB，所以面PBC⊥面PAB；
（2）由M為PB中點可得三棱錐A-PMC的體積為三棱錐P-ABC體積的一半．

解答 證明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB?平面ABC，AC?平面ABC，AB∩AC=A，
∴PA⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又∵AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，
∴面PBC⊥面PAB．
（2）∵M是PB的中點，
∴V_棱錐M-ABC=$\frac{1}{2}$V_棱錐P-ABC，
∴V_棱錐A-PMC=V_棱錐P-ABC-V_棱錐M-ABC=$\frac{1}{2}$V_棱錐P-ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×2=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定定理，棱錐的體積計算，屬于中檔題．