Question

如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點，，交于點.

（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由平面，得到，再由四邊形為正方形得到，從而證明平面，從而得到，再結(jié)合，即以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明、、三條直線兩兩垂直，然后以點為坐標(biāo)原點， 、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.
試題解析：（1）平面，
，又，，
平面，
，又，
平面，即平面；
（2）設(shè)，則中，，又，
，，由（1）知，
，，
，又，
，，同理，
如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
，，，，

設(shè)是平面的法向量，則，又，
所以，令，得，，
由（1）知平面的一個法向量，
設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，
，即所求.
【考點定位】本題考查直線與平面垂直的判定以及利用空間向量法求二面角，屬于中等題.