Question

20．已知z=a+bi（b≠0）
（1）寫出z+$\frac{1}{z}$的實部、虛部；
（2）證明：z+$\frac{1}{z}$為實數(shù)的充要條件是|z|=1．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運算法則、實部、虛部的定義即可得出．
（2）由（1）可知：z+$\frac{1}{z}$為實數(shù)，則$b-\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，而b≠0，即可證明．

解答 （1）解：∵z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+^{2}}$=a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$+$（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）$i，實部、虛部分別為a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$，$b-\frac{{a}^{2}+^{2}}$．
（2）證明：z+$\frac{1}{z}$為實數(shù)，則$b-\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，∵b≠0，可得a²+b²=1，即|z|=1．反之也成立．
∴z+$\frac{1}{z}$為實數(shù)的充要條件是|z|=1．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、實部、虛部的定義、充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．