Question

（ 10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．

（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：由條件知，，設(shè)，．

解法一：（I）設(shè)，則，，

，由得

即  于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時，，即．

又因為兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個實根，所以，，

于是

．

因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=．

當(dāng)與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，

此時．

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

 

【解析】略