Question

5．如圖是函數(shù) f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）在一個(gè)周期的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)0＜α＜π，若方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)圖象確定A，ω和φ的值即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分別作出f（x）和y=m的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）顯然A=2，…（1分）
又圖象過(guò)（0，1）點(diǎn)，∴f（0）=1，
∴$sinϕ=\frac{1}{2}$，∵$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{6}$；
…（2分）
由圖象結(jié)合“五點(diǎn)法”可知，$（\frac{11π}{12}{，^{\;}}0）$對(duì)應(yīng)函數(shù)y=sinx圖象的點(diǎn)（2π，0），
∴$ω×\frac{11π}{12}+\frac{π}{6}=2π$，ω=2．…（4分）
所以所求的函數(shù)的解析式為：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈z）$時(shí)，函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
單調(diào)遞增，即$2kπ-\frac{2π}{3}≤2x≤2kπ+\frac{π}{3}，（k∈z）$．…（7分）
解得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈z）$．…（8分）
故函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈z）$．…（9分）
（Ⅲ）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出$y=2sin（2x+\frac{π}{6}）$和y=m（m∈R） 的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜1或1＜m＜2時(shí)，
直線(xiàn)y=m與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．…（10分）
∴m的取值范圍為：-2＜m＜1或1＜m＜2；…（12分）
當(dāng)-2＜m＜1時(shí)，兩根和為$\frac{π}{3}$；當(dāng)1＜m＜2時(shí)，兩根和為$\frac{4π}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．