Question

已知如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，過(guò)D與PB垂直的平面分別交PB、PC于F、E。

（1）求證：DE⊥PC；
（2）當(dāng)PA//平面EDB時(shí)，求二面角E-BD-C的正切值。

Answer 1

解：（1）∵平面DEF
∴
又∵平面ABCD
又∵
∴平面
∴平面
∴
從而DE⊥平面PBC
∴；
（2）連AC交BD于O，連EO，由PA//平面EDB及平面EDB∩平面PAC于EO知PA//EO
∵O是正方形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)
∴E為PC的中點(diǎn)
又∵
∴
設(shè)PD=DC=a，取DC的中點(diǎn)H，作HG//CO交BD于G，
則HG⊥DB，EH//PD
∴平面CDB。
由三垂線定理知EG⊥BD
故為二面角E-BD-C的一個(gè)平面角。
易求得
∴
∴二面角E-BD-C的正切值為。