Question

13．已知函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）證明函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）使函數(shù)有意義時，需$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，這樣便可得出定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）容易得出f（-x）=-f（x），從而判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）先將原函數(shù)變成f（x）=$lg\frac{1+x}{1-x}$，根據(jù)增函數(shù)的定義，定義域內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，進(jìn)行對數(shù)的運(yùn)算，得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，根據(jù)-1＜x₁＜x₂＜1證明$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$即可得出f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）證明：$f（x）=lg\frac{1+x}{1-x}$，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lg\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}-lg\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴0＜1+x₁＜1+x₂，0＜1-x₂＜1-x₁；
∴$0＜\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}＜1，0＜\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}＜1$；
∴$0＜\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜1$；
∴$lg\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域、奇偶性的定義，對數(shù)的真數(shù)大于0，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），對數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．