Question

（本題滿分14分）設為非負實數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）當時，函數(shù)有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點；

當時，函數(shù)有三個零點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，，然后對于分段函數(shù)各段的情況分別說明單調性，整體來合并得到結論。

（2）當時，，

故當時，，二次函數(shù)對稱軸，那么結合二次函數(shù)的 性質可知頂點的函數(shù)值為正數(shù)，負數(shù)，還是零，來確定零點的問題。

解：（Ⅰ）當時，，

① 當時，，∴在上單調遞增；

② 當時，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

綜上所述，的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）（1）當時，，函數(shù)的零點為；   

（2）當時，，

故當時，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調遞增，又，f(x)與x軸在有唯一交點；

當時，，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調遞減，在上單調遞增；∴，

 當，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，

  當，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點

 當，即時，f(a)<0，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點

綜上可得，當時，函數(shù)有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點；

當時，函數(shù)有三個零點．

考點：本題主要考查了函數(shù)單調性和函數(shù)的零點的運用。

點評：解決該試題的關鍵是對于參數(shù)的分類討論是否能夠很好的全面的表示出不同情況下的零點，也是該試題一個難點。