Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)的最小值；
（III）若0＜n＜m，求證：．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，，
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）

（II）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/215982.png' />上恒成立不可能，
故要使函數(shù)上無零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)恒成立．
令，
則，
，
綜上，若函數(shù)，則a的最小值為2-4ln2．
（III）證明：由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減．
∵，∴
∴∴，
即

分析：（I）代入a的值，寫出函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，求出自變量的值，寫出單調(diào)區(qū)間．
（II）根據(jù)函數(shù)無零點(diǎn)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0在一個(gè)區(qū)間上不恒成立，得到函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上沒有零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用求最值得方法求出函數(shù)的最小值．
（III）要證明不等式成立，由第（I）問可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減，得到兩個(gè)自變量的函數(shù)值之間的關(guān)系，整理出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查恒成立問題，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力，本題解題的關(guān)鍵是最后一問，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．