Question

已知曲線C：的橫坐標(biāo)分別為1和，且a₁=5，數(shù)列{x_n}滿足x_n+1 = tf (x_n – 1) + 1（t > 0且）．設(shè)區(qū)間，當(dāng)時，曲線C上存在點使得x_n的值與直線AA_n的斜率之半相等．

證明：是等比數(shù)列；

當(dāng)對一切恒成立時，求t的取值范圍；

記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當(dāng)時，試比較S_n與n + 7的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）見解析

（2）0<t<

（3）對任意的

解析:

(1) ∵由已知得  ∴

由

∴即

∴是首項為2+1為首項，公比為2的等比數(shù)列.    4分

        (2) 由(1)得=（2+1）·2^n-1，∴

從而a_n=2x_n－1=1+，由D_n+1D_n，得a_n+1<a_n，即. 

∴0<2t<1，即0<t< 9分

        (3) 當(dāng)時，       

∴

不難證明：當(dāng)n≤3時，2^n-1≤n+1；當(dāng)n≥4時，2^n-1>n+1.  

∴當(dāng)n≤3時， 

當(dāng)n≥4時，

 

綜上所述，對任意的    13分