Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M: 及其上一點A（2，4）

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；

（3）設點T（t,o）滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數t的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）根據直線與x軸相切確定圓心位置，再根據兩圓外切建立等量關系求半徑;（2）根據垂徑定理確定等量關系，求直線方程；（3）利用向量加法幾何意義建立等量關系，根據圓中弦長范圍建立不等式，求解即得參數取值范圍.

試題解析：解：圓M的標準方程為，所以圓心M（6，7），半徑為5，.

（1）由圓心N在直線x=6上，可設.因為N與x軸相切，與圓M外切，

所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.

因此，圓N的標準方程為.

（2）因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.

設直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，

則圓心M到直線l的距離

因為

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）設

因為，所以……①

因為點Q在圓M上，所以…….②

將①代入②，得.

于是點既在圓M上，又在圓上，

從而圓與圓沒有公共點，

所以解得.

因此，實數t的取值范圍是.