Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，角B為銳角，且sinB=

2 2

3

（1）求sin²

A+C

2

+cos2B的值；
（2）若b=2，求ac的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由B為銳角，及sinB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosB的值，原式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導公式化簡，將cosB的值代入計算即可求出值；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，把b的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值即可．

解答： 解：（1）∵B為銳角，且sinB=

2 2

3

，
∴cosB=

1-sin2B

=

1

3

，
則原式=

1-cos(A+C)

2

+2cos²B-1=

1+cosB

2

+2cos²B-1=

1+ 1 3

2

+2×

1

9

-1=-

1

9

；
（2）由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

3

，即a²+c²-b²=

2

3

ac，
把b=2代入得：a²+c²=

2

3

ac+4，
又∵a²+c²≥2ac，
∴

2

3

ac+4≥2ac，即ac≤3（當且僅當a=c時取等號成立）
∴ac的最大值為3．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．