Question

如圖甲，設(shè)正方形的邊長為,點(diǎn)分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點(diǎn)在
平面上的射影恰好在上．

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）先證（2）

解析試題分析：⑴證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有，           
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ed/8/1hr0z4.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面
⑵解法1、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，
由于平面，則，                      
所以平面，則，                      
所以平面與平面所成二面角的平面角，     
圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線，     
設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，，；
又由，得，            
于是，，                                
在中，，即所求二面角的余弦值為．


解法2、
如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，                                                
所以平面，則，圖甲中有，又，則三點(diǎn)共線，                                                     
設(shè)的中點(diǎn)為，則，易證，所以，則；
又由，得，               
于是，