Question

已知A、B、C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，BC過(guò)橢圓m的中心，且

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，

設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）t∈（－2，4）

【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將 轉(zhuǎn)化為k_DN•k=-1進(jìn)行求解.

(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和向量的數(shù)量積為零得到a,b的值，得到橢圓的方程。

(2)設(shè)出直線與橢圓聯(lián)立方程組，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，和向量的等式得到參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而利用判別式得到范圍。

解（1）∵過(guò)（0，0）

則

∴∠OCA=90°，  即  又∵

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得 

解得  c²=8，b²=4

∴橢圓m： 

（2）由條件D（0，－2）  ∵M(jìn)（0，t）

1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然－2<t<2 

2°當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)

   消y得

由△>0  可得     ①

設(shè)

則    

∴  

由 

∴   ②

∴t>1  將①代入②得   1<t<4

∴t的范圍是（1，4）

綜上t∈（－2，4）