Question

【題目】已知數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上；

（1）若數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.

（2）是否存在同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的三角形？如果存在，求出相應(yīng)的三角形的三邊以及，的值，如果不存在，說(shuō)明理由.

條件1：三邊長(zhǎng)是數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，其中；

條件2：最小角是最大角的一半.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，三邊長(zhǎng)分別為：，，； 或或

【解析】

（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程,可知數(shù)列為等差數(shù)列,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可由裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.

（2）根據(jù)題意,假設(shè)存在這樣的三角形.設(shè)出三角形的三條邊,利用換元法令,用表示出三條邊.由結(jié)合正弦定理與余弦定理,即可解得的值,進(jìn)而求得的值.再反代回原式檢驗(yàn)即可.

（1）由條件可知,則是公差為,首項(xiàng)為的等差數(shù)列,

則,

則,

所以

,

化簡(jiǎn)得.

（2）假設(shè)滿足條件的三角形存在,設(shè)其三邊長(zhǎng)分別為,,,

記,

則三邊長(zhǎng)分別為,,,又記這三邊對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為,,,

則由題有,則在中,由正弦定理可知：,

即,

又在中,由余弦定理知,

整理可得,解得,

則,又,則,的取值分別為,或,

三角形的三邊長(zhǎng)分別為：,,.

經(jīng)檢驗(yàn),三邊長(zhǎng)分別為,,的三角形滿足題中條件,故滿足條件的三角形存在,

其中,,的取值分別為,或,

三角形的三邊長(zhǎng)分別為,,.