Question

已知函數(shù)f（x）=

cx-1

x+1

（c為常數(shù)），1為函數(shù)f（x）的零點．
（1）求c的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)零點的定義，f（1）=

c-1

2

=0，從而可求出c=1；
（2）先得到f（x）=1-

2

x+1

，根據(jù)單調(diào)性的定義設x₂＞x₁＞-1，作差證明f（x₂）＞f（x₁）即可．

解答： 解：（1）1為f（x）的一個零點，∴f（1）=

c-1

2

=0；
∴c=1；
（2）由（1）可知f（x）=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

；
證明：設任意x₂＞x₁＞-1，則：
f(x2)-f(x1)=1-

2

x2+1

-(1-

2

x1+1

)=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₂＞x₁＞-1；
∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0；
∴f（x₂）＞f（x₁）；
所以函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：考查函數(shù)零點的定義，以及函數(shù)的單調(diào)性定義，根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與過程．