Question

已知函數．
（1）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當m=1時，證明方程f（x）=g（x）有且僅有一個實數根；
（3）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=2時，，求出導函數f'（x），從而求出f'（1）得到切線的斜率，求出切點，根據點斜式可求出切線方程；
（2）m=1時，令，求出h'（x），判定符號得到函數在（0，+∞）上的單調性，然后判定的符號，根據根的存在性定理可得結論；
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，討論x²-1的符號將m分離出來，利用導數研究不等式另一側的最值，從而求出m的取值范圍．
解答：解：（1）m=2時，，，
切點坐標為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4…（2分）
（2）m=1時，令，
，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數．…（4分）
又，
∴y=h（x）在（0，+∞）內有且僅有一個零點
∴在（0，+∞）內f（x）=g（x）有且僅有一個實數根     …（6分）
（或說明h（1）=0也可以）
（3）恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，恒成立，
令，只需m小于G（x）的最小值，
，
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，∴當x∈（1，e]時G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為，
則m的取值范圍是．            …（12分）
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及根的存在性和利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．